Der Einfluss variierender Bodensteifigkeit auf ein Streifenfundament unter Einzellast

Inhalt und Kapitel

1. Einführung in das Thema
2. Analytische Lösung – unendlicher Träger auf elastischem Fundament
3. Lineares Trägermodell  mit Normnachweisen gemäß EN 1992-1-1
4. Nichtlineare Lösung – CSFM (ebener Spannungszustand)
5. Nichtlineare Lösung – CSFM (vollständige 3D-Lösung)
6. Beton-Schädigungs-Plastizität (CDP)
7. CDP (GMNA) vs. 3D CSFM bei gleichem Lastniveau
8. Zusammenfassung und wesentliche Erkenntnisse 

Zusammenfassung

Die Balkentheorie ist für Streifenfundamente unter konzentrierten Stützenlasten übermäßig konservativ. Beide nichtlinearen Modelle zeigen, dass die Bodensteifigkeit die Lastübertragung und die Versagensmechanismen bestimmt, jedoch gilt:

• CSFM liefert eine normkonforme, konservative und praktisch verwendbare Vorhersage der Tragfähigkeit und der Versagensformen.
• CDP prognostiziert höhere Grenzlasten aufgrund von Schädigung, Dilatanz und geometrischer Nichtlinearität, was es eher für die Forschung als für die Routinebemessung geeignet macht.

Fazit:
CSFM erfasst die reale Mechanik der Fundament-Boden-Interaktion mit dem richtigen Maß an Konservatismus; CDP bestätigt die Physik, geht jedoch über das für die Bemessung Vertretbare hinaus.

Diese Studie untersucht systematisch das tragwerksbezogene Verhalten eines Streifenfundaments, das mehrere Stützen bei variierenden Boden- und Fundamentsteifigkeitsparametern trägt. Das primäre Ziel ist es, die gegenseitige Wechselwirkung zwischen den Stützen und dem darunter liegenden Boden zu erläutern und zu bewerten, wie dieses Zusammenspiel die Lastverteilung und das gesamte tragwerksbezogene Verhalten des Fundaments beeinflusst. Sowohl Bedingungen mit geringer Steifigkeit (LSS) als auch mit hoher Steifigkeit (HSS) werden systematisch analysiert, um deren Auswirkungen auf Verschiebungen, Spannungsverteilung und Lastübertragungsmechanismen zu bestimmen, insbesondere in Szenarien mit konzentrierten Stützenlasten.

Die Analyse verwendet das Kompatible Spannungsfeldverfahren (CSFM) in drei Dimensionen. Die aus CSFM gewonnenen Ergebnisse werden sorgfältig anhand von Simulationen mit dem Beton-Schädigungs-Plastizitätsmodell (CDP) sowie traditionellen Verifizierungsmethoden validiert, um ein hohes Maß an Zuverlässigkeit und Genauigkeit der 3D-Vorhersagen sicherzustellen.

Die Ergebnisse dieser Untersuchung bieten ein vertieftes Verständnis der Fundament-Boden-Tragwerk-Interaktion, identifizieren Grenzen konventioneller Bemessungsannahmen und unterstreichen die Wirksamkeit und Robustheit des CSFM für die Bemessung und Überprüfung von Streifenfundamenten unter lokalisierter Belastung und variablen Bodenbedingungen. Diese Forschung trägt zur Weiterentwicklung von Fundamentbemessungsmethoden bei und liefert wertvolle Erkenntnisse für die Entwicklung widerstandsfähigerer tragwerksbezogener Lösungen in verschiedenen geotechnischen Szenarien.

1) Einführung in das Thema

Die Studie untersucht das tragwerksbezogene Verhalten von Streifenfundamenten unter konzentrierten Lasten, die auf einem elastischen Untergrund aufliegen. Die Analyse zielt darauf ab, die Wechselwirkung zwischen der Biegesteifigkeit des Trägers (Biegesteifigkeit des Fundaments) und der Bettungssteifigkeit (Bodenmodul) zu verifizieren, die gemeinsam das Verformungsprofil, die Biegemomente und die Querkraftverteilung entlang des Fundaments bestimmen.

Das analytische Modell folgt der Euler–Bernoulli-Balkentheorie auf einem Winkler-Bettungsmodell, wobei ein unendlich langer Träger unter einer einzelnen konzentrierten Last angenommen wird. Dieser Ansatz ermöglicht einen direkten Vergleich der Verformungsbilder und der Verläufe der inneren Kräfte für verschiedene Steifigkeitsverhältnisse zwischen dem Fundament und dem tragenden Boden.

Betrachten wir die vier möglichen Kombinationen:

1. Geringe Biegesteifigkeit des Trägers + Geringe Bodensteifigkeit 
2. Hohe Biegesteifigkeit des Trägers + Geringe Bodensteifigkeit (nächster Verifikationsartikel)
3. Geringe Biegesteifigkeit des Trägers + Hohe Bodensteifigkeit 
4. Hohe Biegesteifigkeit des Trägers + Hohe Bodensteifigkeit (nächster Verifikationsartikel)

Für den Zweck dieser Verifikation wurden Streifenfundamente mit geringer Biegesteifigkeit für eine Untersuchung an numerischen Modellen ausgewählt.

Abb. 1 zeigt die vier Kombinationen von Fundamentsystemen.  

01) Durchlaufender Fundamentstreifen mit mehreren Stützen (Anwendungsfall)

Materialmodelle

Das Materialverhalten und die Materialeigenschaften wurden aus EN 1992-1-1 [1] übernommen. Die Bemessungswerteigenschaften der Betonklasse C30/37 und der entsprechenden Bewehrung B500B mit Verfestigung wurden festgelegt (Abb. 2).

02) Materialmodelle

2) Analytische Lösung – unendlicher Träger auf elastischer Bettung

Ein unendlicher Euler–Bernoulli-Träger auf elastischer Winkler-Bettung beschreibt das Verhalten eines langen (theoretisch unendlichen) Trägers, der kontinuierlich von einem elastischen Medium, wie Boden oder Bettung, gestützt wird. Das Winkler-Modell setzt voraus, dass die Bettung proportional zur lokalen Durchbiegung reagiert, ähnlich einem Bett unabhängiger Federn. Die maßgebende Differentialgleichung EIyw(z)^(4) + kw(z) = q(x) stellt das Gleichgewicht zwischen Biegesteifigkeit EI und Bettungssteifigkeit k unter der Last q(x) her, die in diesem Fall die lokale Kraft darstellt. Der wesentliche Parameter ist die charakteristische Länge L = (EI/k)^1/4, die angibt, wie weit sich Verformungen ausbreiten. Bei einer Einzellast klingt die Durchbiegung exponentiell ab und schwingt leicht, während sie sich entlang des Trägers ausbreitet. Die Lösung ermöglicht die Vorhersage von Durchbiegung, Verdrehung, Biegemoment und Querkraft – entscheidend für die Bemessung von Fundamenten, Fahrbahnplatten, Schienen oder Rohrleitungen auf elastischen Auflagern.

Modellaufbau

03) Unendlicher Träger auf elastischer Bettung 

Lösung für Böden mit geringer Steifigkeit (LSS)

Geringe Träger-Biegesteifigkeit + Geringe Bodensteifigkeit

• Geeignet für:
  • Bessere Energiedissipation
  • Moderates Durchstanzrisiko
• Vorsicht bei:
  • Übermäßigen Verformungen
  • Empfindlichkeit gegenüber Setzungsunterschieden

04) Lineares Trägermodell, Verformungen, Auflagerkräfte, Momente, Querkräfte 

Hohe Träger-Biegesteifigkeit + Geringe Bodensteifigkeit

• Geeignet für:
  • Verbesserte Gesamtsteifigkeit.
• Vorsicht bei:
  • Rissbildungsrisiko infolge hoher Biegespannungen.
  • Eingeschränkte Anpassungsfähigkeit an ungleichmäßigen Boden.

05) Lineares Trägermodell, Verformungen, Auflagerkräfte, Momente, Querkräfte 

Abbildung 06 zeigt das Verhalten bei einem Boden mit relativ geringer Steifigkeit mit einem Bettungsmodul von 16.000 kN/m³ und variierenden Höhen des Streifenfundaments.

06) Wechselwirkung eines Bodens mit relativ geringer Steifigkeit bei variierender Trägersteifigkeit (geschlossene Lösung)

Lösung für Böden mit hoher Steifigkeit (HSS)

Geringe Träger-Biegesteifigkeit + Hohe Bodensteifigkeit

• Geeignet für:
  • Effizienter Spannungsabtrag in den steifen Boden
  • Geringerer Momentenbedarf
• Vorsicht bei:
  • Hohen lokalen Querkräften
  • Die höchste Gefahr eines Durchstanzversagens

07) Lineares Trägermodell, Verformungen, Auflagerkräfte, Momente, Querkräfte 

Hohe Träger-Biegesteifigkeit + Hohe Bodensteifigkeit

• Geeignet für:
  • Stabiles System, minimale Durchbiegungen
  • Vorhersehbares lineares Verhalten
• Vorsicht bei:
  • Höheren Konstruktionskosten

08) Lineares Trägermodell, Verformungen, Auflagerkräfte, Momente, Querkräfte 

09) Wechselwirkung eines Bodens mit hoher Steifigkeit bei variierender Trägersteifigkeit (geschlossene Lösung)

Verhalten eines Trägers bei Böden mit geringer/hoher Steifigkeit

10) Wechselwirkung von Böden mit geringer und hoher Steifigkeit bei variierender Trägersteifigkeit 

3) Lineares Trägermodell mit Normnachweisen gemäß EN 1992-1-1

Die am häufigsten von Tragwerksplanern eingesetzte Lösung für das aktuelle Modell ist ein Trägermodell mit integrierten Normnachweisen gemäß den geltenden Normen. Der Aufbau des Prüfmodells bleibt über alle Komplexitätsstufen hinweg konsistent und stellt eine Stütze mit quadratischem Querschnitt von 500 x 500 mm und einer Länge von 1.000 mm, einen Fundamentstreifen mit einer Einheitsbreite von 1.000 mm und einer Länge von 6.000 mm dar. Die Höhe des Fundamentstreifens ist ein variabler Parameter. Für die aktuelle Verifikation wird eine Höhe von 250 mm verwendet.

Die Unterseite des Fundamentstreifens wird durch drucksteife Federn mit entweder geringer Bodensteifigkeit von 16.000 kN/m³ oder hoher Bodensteifigkeit von 128.000 kN/m³ gestützt. Symmetrische Randbedingungen schränken die linken und rechten Enden des Fundamentstreifens ein. 

Es ist wesentlich zu beachten, dass alle Modelle Bemessungsmodelle sind. Für die Simulation und die Überprüfung der Normnachweise wurden die Teilsicherheitsbeiwerte für Baustoffe angewendet.

11) Abmessungen und analytisches Modell

Lineares Trägermodell – Boden mit geringer Steifigkeit (LSS)

Sobald die Simulation am Trägermodell durchgeführt wird, können die standardmäßigen Normnachweise angewendet werden. Die bemessene Bewehrung entspricht den Mindestdetaillierungsanforderungen gemäß EN 1992-1-1 [1]. Ein Mindestbewehrungsgrad wird sowohl für Längsstäbe als auch für Bügel angewendet. Die Simulation wird mit einem Elastizitätsmodul von 10 GPa durchgeführt, der den Sekantenmodul des vorgesehenen Betonwerkstoffs darstellt. Aufgrund der hyperstätischen Natur der Struktur beeinflusst der Modul die Umlagerung der Schnittgrößen. 

12) Lineares Trägermodell – Grenzlast für das Bestehen der GZT-Nachweise

Das Biegemoment direkt unterhalb der Stütze erreicht den Grenzwert von 60,1 kNm unter einer Normalkraft in der Stütze von -245 kN. Der zweite kritische Punkt befindet sich in der Zone der maximalen Querkraft, wo die Interaktion einer Querkraft von -86,4 kN und einem entsprechenden Biegemoment von 44,8 kNm zu einem Interaktionsnachweis führt, der ebenfalls innerhalb akzeptabler Grenzen mit einer Ausnutzung von 96,6 % liegt. Die kritischste Stelle an der Struktur befindet sich direkt unterhalb der Stütze, und der Versagensmodus umfasst den Beton unter Druck und die Längsbewehrungsstäbe unter Zug. Die Querkrafttragfähigkeit zeigt, dass sie für diesen Fall nicht maßgebend ist.

13) Lineares Trägermodell – Normnachweis für Boden mit geringer Steifigkeit

Lineares Trägermodell – Boden mit hoher Steifigkeit (HSS)

Der Boden mit hoher Steifigkeit in diesem Szenario, dichter Sand mit einem Bettungsmodul von 128.000 kN/m³, verändert das Verhalten der Struktur erheblich. Die Last konzentriert sich direkt unterhalb des Stützenbereichs. Die Kontaktfläche weist einen höheren Spannungsgradienten und eine höhere Kontaktspannungsgröße auf. Die Grenztragfähigkeit in der Stütze von -540 kN hat sich um einen Faktor von 2,2 im Vergleich zum Boden mit geringer Steifigkeit erhöht. Das Querkraftprofil ist steiler und das Biegemoment stärker lokalisiert. Dies führt zu einer Struktur, die anfälliger für Durchstanzversagen ist.

14) Lineares Trägermodell – Grenzlast für das Bestehen der GZT-Nachweise

Das maximale Biegemoment konzentriert sich unterhalb der Stütze und beträgt 60,7 kNm, was auf die maximale Biegetragfähigkeit des Querschnitts zurückzuführen ist. Die extreme Querkraft ist nahe dem Stützenbereich verschoben und erreicht einen Betrag von -132 kN, wobei das entsprechende Moment 38,1 kNm beträgt. Im Interaktions-Normnachweis wurde der Theta-Winkel für die Druckstrebe von 21,5 Grad auf 23 Grad angepasst. Der Eurocode erlaubt die Anpassung des Strebenneigungswinkels im Bereich von 21,5 bis 45 Grad. Es wurde festgestellt, dass ein Winkel von 21,5 Grad zu einer Überschreitung der Tragfähigkeit führt, was hauptsächlich auf die Biegebeanspruchung zurückzuführen ist. Durch Berücksichtigung der durch die Normanforderungen vorgeschriebenen Variabilität konnte der nicht erfüllte Nachweis durch Anwendung eines alternativen Strebenneigungswinkels erfolgreich behoben werden.

Der kritische Versagensmodus umfasst den Beton unter Druck und die Längsbewehrungsstäbe unter Zug. 

15) Lineares Trägermodell – Normnachweis für Boden mit hoher Steifigkeit

4) Nichtlineare Lösung - CSFM (ebener Spannungszustand)

Annahmen und Modellaufbau

Die in der nichtlinearen Lösung verwendete Theorie wird als CSFM (Kompatibles Spannungsfeldverfahren) bezeichnet und ist im theoretischen Hintergrund[2] beschrieben.

Annahmen und Eigenschaften des Modells: 

• Materiell nichtlineare Analyse (MNA)
• Ebenes Spannungsmodell. 
• Nur-Druck-Linienauflager (geringe/hohe Steifigkeit).
• Symmetrierandbedingungen sind an den linken und rechten Rändern des Fundamentstreifens angeordnet.
• Eine dicke Platte von 100 mm auf der Oberseite der Stütze zur Reduzierung lokaler Spannungskonzentrationen unterhalb der Einzellast.
• Alle Materialeigenschaften für Beton C30/37 und Bewehrungsstäbe B500B werden als Bemessungswerte mit Teilsicherheitsbeiwerten gemäß EN 1992-1-1 [1] angesetzt. 
• Netzfaktor 1 – mindestens vier Elemente über die kürzeste Kante.

16) 2D-Modell + Bewehrungsanordnung

2D CSFM – Low-Stiffness-Soil (LSS)

Die maximal aufgebrachte Kraft, bei der alle maßgebenden Versagensmechanismen noch aufgenommen werden können, beträgt -1.340 kN. Die vertikale Kraft hat eine Kontaktspannung von 0,59 MPa erzeugt. Der beobachtete Verlauf der Kontaktspannung zeigt Nichtlinearität im Zugbereich, was auf das Abheben der linken und rechten Bereiche nahe den Symmetrierandbedingungen zurückzuführen ist. Das Versagen trat durch Druckversagen an der Schnittstelle zwischen der Stützenkante und der dem Fundament zugewandten Fläche auf, gleichzeitig durch Zugbruch der Längsbewehrung.

17) Maximal aufgebrachte Kraft, Kontaktspannung und Versagensformen

18) Hauptspannung im Druck, plastische Druckdehnung, Spannung in der Bewehrung

Die Spannung in den Bügeln hat ein Maximum von 201 MPa erreicht, woraus geschlossen werden kann, dass dieses Spannungsniveau deutlich unterhalb der Ausnutzungsgrenze liegt. Versagen durch Querkraft stellt in diesem Zusammenhang keine Gefahr dar. 

19) Nichtlineare Durchbiegungen, Spannung in den Bügeln und detaillierte Einblicke in die Versagensformen der Längsstäbe

2D CSFM – High-Stiffness-Soil (HSS)

Die maximale Last, bei der alle maßgebenden Versagensmechanismen noch aufgenommen werden können, beträgt –2.652 kN. Die entsprechende vertikale Reaktion erzeugt eine Kontaktspannung von 1,99 MPa an der Fundament-Boden-Schnittstelle. Der Verlauf der Kontaktspannung zeigt eine ausgeprägte Nichtlinearität im Zugbereich, die auf das Abheben der Fundamentränder zurückzuführen ist. Dieser Kontaktverlust tritt vorwiegend an den linken und rechten Enden des Modells auf.

Der maßgebende Versagensmechanismus ist Druckversagen durch Quetschen an der Schnittstelle zwischen der Stützenkante und der belasteten Fläche des Fundaments. Gleichzeitig tritt Zugbruch der Längsbewehrung der unteren Lage im Fundament auf.

20) Maximal aufgebrachte Kraft, Kontaktspannung und Versagensformen

21) Hauptspannung im Druck, plastische Druckdehnung, Spannung in der Bewehrung

Die nichtlinearen Durchbiegungen zeigen im Vergleich zu den LSS-Varianten deutlich geringere Verformungen bei höheren Lasten. Die Spannung konzentriert sich überwiegend unterhalb des Stützenbereichs, wobei die Bügel mit etwa 186 MPa gering ausgenutzt sind. Das Modell zeigt jedoch Anzeichen einer lokalen Druckerweichung an der Unterseite des Fundamentstreifens infolge hoher Zugspannungen in den Bewehrungsstäben.

22) Nichtlineare Durchbiegungen, Spannung in den Bügeln und lokale Druckerweichung

5) Nichtlineare Lösung – CSFM (Vollständige 3D-Lösung)

Die in der nichtlinearen Lösung verwendete Theorie wird als 3D CSFM bezeichnet und ist im theoretischen Hintergrund [3] beschrieben. Alle Voraussetzungen für das entworfene Berechnungsverfahren werden dort ausführlich erläutert.

Annahmen und Eigenschaften des Modells: 

• Materiell nichtlineare Analyse (MNA)
• 3D-Lösung – Volumenelemente.
• Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie – Nullwinkel der inneren Reibung für das Betonverhalten.
• Nur-Druck-Flächenlager (geringe/hohe Steifigkeit).
• Symmetrierandbedingungen sind an den linken und rechten Rändern des Fundamentstreifens angeordnet.
• Eine dicke Platte von 100 mm auf der Oberseite der Stütze zur Reduzierung lokaler Spannungskonzentrationen unterhalb der Einzellast.
• Verbundmodell und Zugverfestigung werden berücksichtigt.
• Spannungsmehrachsigkeit und Einschnürungseffekt.
• Druckerweichung ist nicht Bestandteil der implementierten Lösung.
• Netzfaktor 1 – empfohlene Berechnungseinstellungen.

23) 3D-Modell + Anordnung der Bewehrungsstäbe

3D CSFM – Low-Stiffness-Soil (LSS)

Die im Modell erreichte maximale Axialkraft betrug -980 kN infolge von Versagensmechanismen, die den Zugbruch der Längsbewehrung im Umfangsbereich der Stütze umfassen. Quere Druckkräfte werden durch die Bügel aufgenommen, die in der Stützenzone während des Fließens ausgenutzt werden und zu einem zusätzlichen Versagensmechanismus der horizontalen Bügelschenkel beitragen, der durch transversale Zugspannungsentwicklungen verursacht wird, die in der ebenen Spannungslösung nicht erfasst werden können. Überdrückung und Quetschen des Betons treten im Übergangsbereich zwischen Stütze und Fundament auf. Der Einschnürungseffekt ist in diesem Bereich lokalisiert, basierend auf dem Bewehrungseffekt und der Steifigkeit des Fundamentstreifens. Der Versagensmechanismus umfasst das Quetschen des Betons, den Zugbruch der Längsbewehrung und die horizontalen Bügelschenkel unter Zug.

24) Maximale aufgebrachte Kraft, Versagensmechanismen und Querspannungsverteilung

25) Minimale Hauptspannung Sigma 3, Einschnürungseffekt – Verhältnis zwischen dreiachsiger und einachsiger Spannung

26) Plastische Druckdehnung und Spannung in der Bewehrung

27) Detaillierte Erfassung kritischer Spannungen an den Längsstäben und Bügeln 

28) Nichtlineare Durchbiegungen

3D CSFM – High-Stiffness-Soil (HSS)

Die vom Fundamentstreifen aufgenommene Kraft erreichte -2.116 kN, was einer etwa 215 % höheren Tragfähigkeit als bei LSS entspricht. Der Versagensmechanismus umfasst das Quetschen des Betons, den Zugbruch der Längsbewehrung und die horizontalen Bügelschenkel unter Zug.

29) Maximale aufgebrachte Kraft, Versagensmechanismen und Querspannungsverteilung

30) Minimale Hauptspannung Sigma 3, Einschnürungseffekt – Verhältnis zwischen dreiachsiger und einachsiger Spannung

31) Plastische Druckdehnung im Beton und Spannung in der Bewehrung

Die maximale Schubspannung an den inneren geschlossenen Bügeln hat einen Wert von 298 MPa erreicht, was innerhalb des durch das Material definierten elastischen Bereichs liegt. Diese Beobachtung führt zu dem Schluss, dass Durchstanzversagen nicht der vorherrschende Versagensmechanismus in diesem speziellen Fall war.

32) Detaillierte Erfassung kritischer Spannungen an den Längsstäben und Bügeln 

33) Nichtlineare Durchbiegungen 

6) Beton-Schädigungs-Plastizität (CDP)

Die in der nichtlinearen Berechnung verwendete Theorie wird als CDP bezeichnet und ist im theoretischen Hintergrund [4] beschrieben. Das Materialmodell ist Bestandteil der ABAQUS-Bibliothek für die Betonsimulation.

Die Simulation wurde beendet, als das Modell seine maximale Tragfähigkeit erreicht hatte und anschließend in den plastischen Zustand und den postkritischen Zustand überging, wie auf der Last-Verformungs-Kurve zu beobachten ist. In diesem Fall wurden keine vordefinierten Abbruchkriterien angewendet, wie es beim CSFM der Fall ist.

 Annahmen und Eigenschaften des Modells: 

• Verwendet Konzepte der isotropen geschädigten Elastizität in Verbindung mit isotroper Zug- und Druckplastizität zur Beschreibung des inelastischen Verhaltens von Beton.
• Es ist für Anwendungen konzipiert, bei denen Beton unter niedrigen Einspanndrücken monotoner, zyklischer und/oder dynamischer Belastung ausgesetzt ist.
• Besteht aus der Kombination von nicht-assoziierter Mehrfach-Verfestigungsplastizität und skalarer (isotroper) geschädigter Elastizität zur genauen Beschreibung der irreversiblen Schäden, die während des Bruchprozesses auftreten.
• Druckerweichung und Zugverfestigung werden unter der Annahme eines vollständigen Verbunds für unabhängig modellierte Bewehrungsstäbe eingesetzt.  
• Gesamtanzahl der Knoten: 46.003
• Gesamtanzahl der Elemente: 37.892
  • 27.600 lineare hexaedrische Elemente C3D8 – vollständige Integration, Elementlöschung aktiviert
  • 10.192 lineare Linienelemente T3D2
  • Netzgröße – 50 mm am Beton und an den Bewehrungen
• Die Zwischenschicht zwischen druckbeschränkten Randbedingungen, die den Boden und den Betonfundamentstreifen darstellen, liefert Informationen über den Kontaktstatus und die Kontaktspannung.
• Eine dünne Schicht von 10 mm mit einem Elastizitätsmodul von 1.000 MPa zur Simulation einer Zwischenschicht für die Ergebnisausgaben des Bodendrucks.

34) Modell + Bewehrungen, Netz

Materialmodelle für Beton-Schädigungs-Plastizität

Die Entwicklung des Materialmodells unter Druck zeigt Druckerweichung nach Erreichen von 20 MPa, während es unter Zug einen Wert von 0,2 MPa aufweist, der näherungsweise eine Zugfestigkeit von null simuliert. Dieser exakte Nullwert führt zur Divergenz des Modells. 

35) Materialmodelle für Beton unter Druck, Zug und Bewehrung

Beton-Schädigungs-Plastizität – Low-Stiffness-Soil (LSS)(GMNA)

Die auf das Modell aufgebrachte Grenzkraft beträgt -2.029 kN. Die minimale (Druck-)Dehnung beträgt -0,04 und befindet sich im Bereich der Verbindung von Stütze und Fundament. Demgegenüber wird die maximale (Zug-)Dehnung an der Unterseite des Fundaments mit einem Wert von 0,105 festgestellt. Übermäßige Druckdehnungen wurden als primärer Versagensmechanismus bewertet, der durch Betonquetschen gekennzeichnet ist.

36) Maximale aufgebrachte Kraft, minimale Hauptspannung

37) Minimale plastische Dehnung, maximale plastische Dehnung

38) Schädigung unter Zug, Schädigung unter Druck

Hinsichtlich der Bewehrungskapazität wurde die Analyse bei einer plastischen Dehnung von 6 % an den Bewehrungsstäben beendet, was einer Von-Mises-Spannung von 439 MPa entspricht. Die Längsstäbe, die querliegenden horizontalen Bügel und die Bügelschenkel werden im Verfestigungsast des Diagramms beansprucht. Ein gleichzeitiges Versagen sowohl der Längs- als auch der Querkraftbewehrung wird beobachtet. Diese Wechselwirkung führt zu einem kombinierten Versagensmechanismus, bei dem die Längsstäbe Biegung erfahren, die Bügel infolge von Querbiegung auf Zug beansprucht werden und die vertikalen Bügelschenkel, die Querkräften im Beton ausgesetzt sind, axialen Zugriss erleiden.

39) Spannung in den Bewehrungen

40) Nichtlineare Durchbiegungen

41) Kontaktfläche und Kontaktspannung

Beton-Schädigungs-Plastizität – High-Stiffness-Soil (HSS)(GMNA)

Die auf das Modell aufgebrachte Grenzkraft wurde mit -4.181 kN dokumentiert. Die minimale (Druck-)Dehnung beträgt -0,0175, was einer Reduzierung von ca. 56 % gegenüber den im LSS erfassten Werten entspricht. Eine bemerkenswerte Änderung wird hinsichtlich der Lage dieser Dehnung festgestellt: Sie verlagert sich an die Unterseite des Fundaments anstatt an die Schnittstelle zwischen Stütze und Fundament. Diese Verlagerung ist in erster Linie auf die Dominanz der Vertikalspannung zurückzuführen, die zur Umlagerung der Spitzendehnung geführt hat. Gleichzeitig wird die maximale (Zug-)Dehnung an der Unterseite des Fundaments mit einem Wert von 0,0451 beobachtet.

Die Reduzierung der Dehnungswerte ist auf die erhöhte Steifigkeit des Bodens, Einspannungsphänomene und geringere Verformungen im Vergleich zum LSS zurückzuführen. Darüber hinaus erreicht die eingeschlossene Spannung im Beton einen Wert von -166 MPa. Die eingeschlossene Dehnung verdeutlicht das postkritische Verhalten des Betons, einschließlich Druckerweichung und Betonquetschen.

42) Maximale aufgebrachte Kraft, minimale Hauptspannung

43) Minimale plastische Dehnung, maximale plastische Dehnung

44) Schädigung unter Zug, Schädigung unter Druck

Die Spannungskonzentration ist überwiegend unterhalb des Stützenbereichs zentriert, was zu erhöhten Kontaktspannungen von 3,41 MPa und einem signifikanten Querkraftgradienten führt. Diese Bedingung erhöht die Wahrscheinlichkeit eines Durchstanzversagens. Die Längsbewehrungsstäbe und Bügel spielen eine entscheidende Rolle bei der Aufnahme des plastischen Verhaltens. Die lokalisierte Spannung führt zu Fließen in der unmittelbaren Umgebung des Stützenbereichs auf dem Fundamentstreifen. Die Zugkräfte in den Bewehrungsstäben, die aus der Biegung des Fundaments in beiden Richtungen resultieren, kombiniert mit der Querkraftbeanspruchung, die von den vertikalen Bügelschenkeln aufgenommen wird, tragen zur Entstehung von Plastizität bei. Die primäre Versagensart ist durch zuginduzierte Spannung entlang der Bewehrungsstäbe gekennzeichnet.

45) Spannung in den Bewehrungen

46) Nichtlineare Durchbiegungen

47) Kontaktfläche und Kontaktspannung

7) CDP (GMNA) vs. 3D CSFM beim gleichen Lastniveau

Der Nachweis, dass das Modell dasselbe Verhalten zeigt, wird deutlich, wenn die Phänomene bei identischen Lastniveaus untersucht werden. Die maximale Tragfähigkeit des 3D CSFM wird mit der des CDP-Modells verglichen.

Low-Stiffness-Soil (LSS)

Die maximale Tragfähigkeit des 3D CSFM-Modells hat -980 kN der auf die Stütze wirkenden Normalkraft erreicht. Die Kräfte wurden als Referenzniveau für den Vergleich verwendet. 

Wie beobachtet, variiert die minimale Hauptspannung zwischen den Ausgabeschritten. Diese Abweichung ergibt sich aus der nichtlinearen Entwicklung der Spannung unter Druck, die vom Materialverhalten abhängt. Aufgrund der Dreiachsigkeit an der Schnittstelle zwischen Stütze und Fundament sind die Hauptspannungsniveaus höher als bei einachsigem Druck.

Im 3D CSFM-Modell bleibt die Deviatorspannung konstant. Die Deviatorspannung ist unempfindlich gegenüber dem Niveau der mittleren Spannung, ebenso wie bei der Tresca-Theorie. Im Gegensatz dazu verwendet das CDP-Modell einen Dilatanzwinkel von 30°, der eine volumetrische Ausdehnung unter Druck erzeugt und bewirkt, dass sich die Deviatorspannung entlang des Spannungspfades entwickelt, insbesondere bei höherer Dreiachsigkeit. Die maximale Druckspannung von −94,6 MPa im CDP entspricht einem lokalen Maximum, das mit der scharfen Ecke im Spannungspfad verbunden ist und die kombinierten Auswirkungen von Dreiachsigkeit und Dilatanz widerspiegelt.

48) Minimale Hauptspannung beim Lastniveau -980 kN

Der Unterschied zwischen den Spannungen an kritischen Stellen des 3D CSFM im Vergleich zu CDP. 

• CDP ca. -70 MPa entlang der Seite der Stützenkante
• 3D CSFM -60 MPa entlang der Seite

49) Detaillierte gefilterte Spannungen entlang der Kante für CDP

Die in der Bewehrung beobachtete Spannungsvariation wurde auf ca. 8 % für Bewehrungsstäbe unter Zug und 28 % für jene unter Druck quantifiziert. Die reduzierte Spannung unter Druck und die Abweichung von 28 % können auf das für Druck verwendete Betonmaterialmodell, den Dilatanzwinkel sowie den Ausschluss der Verbundwechselwirkung zwischen Bewehrungsstäben und Beton (vollständiger Verbund) im CDP-Modell zurückgeführt werden. Das 3D CSFM zeigt eine Tendenz zu konservativen Ergebnissen und weist erhöhte Spannungsniveaus sowohl unter Druck als auch unter Zug auf.

50) Spannung in der Bewehrung beim gleichen Lastniveau 

Das Verformungsniveau stimmt zu 93 % überein. 

51) Gesamtverformung beim gleichen Lastniveau

High-Stiffness-Soil (HSS)

Die maximale Tragfähigkeit des 3D CSFM-Modells hat -2.073 kN der auf die Stütze wirkenden Belastungskraft erreicht. Die Kräfte wurden als Referenzniveau für den Vergleich verwendet. 

Die minimale Hauptspannung des CDP-Modells erreicht im Spitzenwert −127 MPa. Dieser hohe Druckwert ist in erster Linie das Ergebnis eines erhöhten Niveaus der Deviatorspannung in Kombination mit starker Dilatanz unter Druck (hoher Dilatanzwinkel), was den Spannungspfad zu größeren Druckhauptspannungen treibt. Im Vergleich zum LSS-Fall wurde die aufgebrachte Last um ca. 211 % erhöht, was die höhere Druckhauptspannung im CDP-Modell erklärt.

Im Fall des 3D CSFM erreichte die minimale Hauptspannung ca. −60 MPa (≈3× der einachsigen Druckfestigkeit), d. h. wesentlich geringerer Druck als im CDP. Die Spannungsunterschiede zwischen den Modellen werden weiter zunehmen, wenn die mittlere (hydrostatische) Spannung höher wird.

52) Minimale Hauptspannung beim Lastniveau -2070 kN

Die gefilterte Spannungsverteilung entlang der Kante mit verbesserter Visualisierung und einer korrekt skalierten Legende zeigt, dass die maximale Druckspannung für das CDP-Modell ca. −70 MPa erreicht, verglichen mit −60 MPa für das 3D CSFM-Modell.

53) Detaillierte gefilterte Spannung entlang der Kante für CDP

Die in der Bewehrung beobachtete Spannungsvariation wurde auf ca. 8 % für Bewehrungsstäbe unter Zug quantifiziert. Die kritische Stelle unter Zug wurde an der genauen Position der unteren Längsstäbe identifiziert.

54) Spannung in der Bewehrung beim gleichen Lastniveau

Der Nachweis hinsichtlich des Verformungsniveaus entspricht einer Übereinstimmung von 85 %.  

55) Gesamtverformung beim gleichen Lastniveau

8) Zusammenfassung und wichtigste Erkenntnisse

Diese Verifizierungsstudie präsentiert eine umfassende vergleichende Analyse analytischer Lösungen eines unendlichen Trägers auf elastischem Untergrund, einer Standard-Trägerlösung und Normnachweise gemäß EN sowie anspruchsvoller nichtlinearer Simulationen mit CSFM in 2D/3D und CDP in 3D. Die Ergebnisse veranschaulichen durchgängig die entscheidende Wechselwirkung zwischen Modell- und Bodensteifigkeit bei der Bestimmung des Tragverhaltens von Streifenfundamenten unter konzentrierter Belastung.

Überblick über die Ergebnisse:

Die Ergebnisse zeigen, dass die CSFM-Methode eine eigenständige Position zwischen analytischen und konventionellen Ansätzen einerseits und fortgeschrittenen numerischen Lösungen andererseits einnimmt. Während Standardmethoden tendenziell zu übermäßig konservativen Ergebnissen führen, ist dies auf die Verwendung eines ungeeigneten Ansatzes zur Analyse von Bereichen unter konzentrierten Lasten zurückzuführen, bei denen es sich wahrscheinlich um Diskontinuitätsbereiche handelt, in denen die Annahmen der Trägerlösung nicht gelten und durch die Strebe-und-Zugband-Methode ersetzt werden sollten.

Umgekehrt ergibt sich die höhere Tragfähigkeit in Plastizitätsmodellen aus dem Fehlen interner Kriterien zum Abbruch der Simulationen, wie sie in den CSFM-Methoden implementiert sind. Der Unterschied, der eine entscheidende Rolle bei der Ergebnisabweichung spielen kann, ist die geometrische Nichtlinearität, ein Dilatationswinkel von 30 Grad, ein geringer Beitrag der Zugzone im Beton und ein perfekter Verbund, der für CDP angenommen wird. CSFM berücksichtigt materielle Nichtlinearität unter Einbeziehung des Verbunds zwischen Bewehrungsstäben und Beton bei null Zugfestigkeit. Diese Effekte führen offensichtlich zu einer konservativeren Lösung als CDP. 

Ein weiterer zu beachtender Aspekt ist, dass das aktuelle Modell stark von der Steifigkeit des Bodens abhängt und ein sehr kleines Verformungsinkrement zu erheblichen Änderungen der übertragbaren Last führt.

Im Allgemeinen entspricht die Kontaktspannung im Boden typischerweise den Normempfehlungen. Für losen Sand, der in diesem Experiment verwendet wurde, beträgt die maximal bemessene Kontaktspannung 200 kPa, für dichten Sand 500 kPa. Die aus den Simulationen berechnete Spannung liegt im Bereich von 0,59–1,56 MPa (loser Sand) und 1,99–3,41 MPa (dichter Sand), was die Normkriterien überschreitet; dies ist jedoch für das Ziel der Studie nicht relevant.

Die CSFM-Methode bietet einen ausgewogenen Kompromiss zwischen modernsten numerischen Modellen wie CDP und in Normen integrierten Trägertheoriemodellen. Insbesondere überwiegen ihre Vorteile gegenüber konventionellen Lösungen.

56) Ergebniszusammenfassung

57) Grafische Darstellung der Ergebnisse aufgeteilt nach LSS und HSS

Wichtigste Erkenntnisse

Lineares Trägermodell (Normnachweise nach EN 1992-1-1)

• Eine hohe Bodensteifigkeit erhöht die Tragfähigkeit des Modells erheblich. Der Bettungsmodul von 128.000 kN/m³ im Vergleich zu 16.000 kN/m³ führt zu einer 2,2-fach erhöhten aufgebrachten Kraft.
• Versagensmodi treten im Biegebereich direkt unterhalb der Betonstütze auf, wo der Beton an der Schnittstelle mit der Stütze auf Druck beansprucht wird sowie die untere Lage der Längsbewehrungsstäbe auf Zug. 

2D CSFM-Lösung

• Das Modell sagt identische Versagensmodi wie in der Trägerlösung beobachtet korrekt voraus. Darüber hinaus wurde die Tragfähigkeit sowohl für LSS als auch für HSS im Vergleich zur Trägerlösung erheblich gesteigert. Dieses Ergebnis führt zu dem Schluss, dass die Trägertheorie deutlich konservativ ist im Vergleich zu einer materiell nichtlinearen Lösung mit der 2D-CSFM-Methode.
• Der Bereich der konzentrierten Last wird als Diskontinuitätsbereich identifiziert, sodass die Trägertheorie für diese Lösung in diesem Fall aufgrund des übermäßig konservativen Ansatzes nicht gültig ist.

3D CSFM-Lösung

• Erfasst Einspanneffekte, dreiaxiale Spannungseffekte und die Beteiligung der Querbewehrung – keiner dieser Aspekte ist in 2D zugänglich.
• Die Versagensmodi stimmen mit der zweidimensionalen ebenen Spannungslösung überein. Ein zusätzlicher Versagensmodus entsteht durch das Verhalten in Querrichtung – Bügel werden bis zur Streckgrenze belastet, jedoch ist diese Beanspruchung auf die horizontalen unteren Schenkel beschränkt.
• Bestätigt, dass Durchstanzen nicht zwingend der maßgebende Versagensmodus ist, selbst bei hoher Bodensteifigkeit, sofern eine ausreichende Bewehrung vorhanden ist.

3D CDP-Lösung

• Bietet ein vollständiges volumetrisches Betonverhalten, einschließlich Druckerweichung, Zugverfestigung und fortschreitender Schädigung.
• Der geometrisch nichtlineare Effekt ist der Hauptgrund für die höhere Tragfähigkeit. Dieser Effekt ist die primäre Quelle der Abweichung zwischen den Modellen.

Ingenieurtechnische Erkenntnisse aus der Studie

• Die Bewehrungsanordnung hängt vom steifen Boden ab. Selbst stark bewehrte Fundamente können aufgrund bodenbedingter Spannungslokalisierung vorzeitig versagen.
• Lineare Trägermodelle sind für die Vorbemessung nützlich, aber unzureichend zur Erfassung des tatsächlichen Verhaltens, wenn Druckerweichung, Abheben oder Einspanneffekte auftreten.
• Nichtlineare Modelle liefern wesentliche Einblicke in Versagensmechanismen, insbesondere bei der Bemessung nahe der Kapazitätsgrenze oder bei der Überprüfung kritischer Details.
• 3D-Effekte sind bedeutsam. Querbewehrung und Einspanneffekte beeinflussen Tragfähigkeit, Duktilität und Lastumlagerung erheblich.
• Durchstanzen ist nicht automatisch maßgebend. Viele Fundamente versagen aufgrund kombinierter Biegung und Zug in Längsstäben – selbst bei hoher Bodensteifigkeit.

Empfehlungen für IDEA StatiCa-Anwender

 2D CSFM-Lösung

• Liefert klare und physikalisch aussagekräftige Versagensmodi.
• Ideal für eine schnelle und dennoch genaue Überprüfung einfacher Streifen- oder Wand-Fundament-Szenarien.
• Sehr effizient für den Vergleich von Bodensteifigkeitsvarianten aufgrund des geringen Rechenaufwands.

3D CSFM-Lösung

• Sehr leistungsfähig bei der Darstellung von dreiaxialen Spannungen, Einspanneffekten, Querbewehrungswirkung und lokalem Quetschen.
• Ermöglicht Ingenieuren das Verständnis des tatsächlichen räumlichen Verhaltens komplexer Details wie Stützen-Fundament-Verbindungen.
• Liefert eine realistische Bewertung des Beitrags von Bügeln und Bewehrungsschenkeln in allen Richtungen.

3D CDP-Lösung

• Bietet die umfassendste Darstellung von Materialerweichung, Schädigungsentwicklung und Versagensmechanismen.
• Ideal für Forschung, erweiterte Verifikation und forensische Analyse.
• Erfasst sowohl fortschreitendes Versagen als auch Lastumlagerung und liefert Erkenntnisse, die aus Normformeln nicht gewonnen werden können.

Abschließende Empfehlungen für die Praxis

Dies sind meine persönlichen Beobachtungen und Empfehlungen auf Grundlage der vorliegenden Studie.

• Verwenden Sie lineare Trägermodelle für die frühe Vorbemessung und Normnachweis-Überprüfung.
• Verwenden Sie 2D CSFM, wenn Abheben, nichtlineares Zugverhalten oder Boden-Bauwerk-Interaktionseffekte maßgebend sind.
• Verwenden Sie 3D CSFM zur Bewertung komplexer Spannungsfelder, Einspanneffekte oder des Einflusses der Querbewehrung.
• Verwenden Sie 3D CDP für die vollständige Verifikation von Grenzzuständen der Tragfähigkeit, insbesondere wenn Materialdegradation oder durchstanzähnliche Mechanismen zu erwarten sind.
• Bewerten Sie stets die Bodensteifigkeit parallel zur Tragwerkssteifigkeit – diese Studie bestätigt, dass sie ein entscheidender Parameter ist.
• Für sicherheitskritische Bauteile bevorzugen Sie nichtlineare Analysen zur Ergänzung der Normnachweise.

Literaturverzeichnis

[1] EN 1992-1-1:2004+A1:2014 – Eurocode 2: Bemessung und Konstruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken – Teil 1-1: Allgemeine Bemessungsregeln und Regeln für den Hochbau.
Europäisches Komitee für Normung (CEN), Brüssel, 2014

[2] IDEA StatiCa, "Theoretical background for IDEA StatiCa Detail – Structural design of concrete discontinuities," IDEA StatiCa Support Center. [Online]. Verfügbar unter: https://www.ideastatica.com/support-center/theoretical-background-for-idea-statica-detail 

[3] IDEA StatiCa, "IDEA StatiCa Detail – Structural design of concrete 3D discontinuities," IDEA StatiCa Support Center. [Online]. Verfügbar unter: https://www.ideastatica.com/support-center/idea-statica-detail-structural-design-of-concrete-3d-discontinuities

[4] Dassault Systèmes, "ABAQUS Version 6.6 Documentation – Theory Manual," [Online]. Verfügbar unter: https://classes.engineering.wustl.edu/2009/spring/mase5513/abaqus/docs/v6.6/books/usb/default.htm?startat=pt05ch18s05abm36.html